![]() |
Алгебра |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Занятие 9. Числовая окружность. Синус и косинус. Тангенс и котангенс.
Единичной окружностью называют окружность радиуса 1.
Числовая окружность - это единичная окружность, точки которой соответствуют определенным действительным числам. Общий вид числовой окружности. 1) Ее радиус принимается за единицу измерения.
Соответственно:2) Горизонтальный и вертикальный диаметры делят числовую окружность на четыре четверти . Их соответственно называют первой, второй, третьей и четвертой четвертью. 3) Горизонтальный диаметр обозначают AC, причем А - это крайняя правая точка. Вертикальный диаметр обозначают BD, причем B - это крайняя верхняя точка. первая четверть - это дуга AB вторая четверть - дуга BC третья четверть - дуга CD четвертая четверть - дуга DA 4) Начальная точка числовой окружности - точка А. Отсчет по числовой окружности может вестись как по часовой стрелке, так и против часовой стрелки. Отсчет от точки А против часовой стрелки называется положительным направлением. Отсчет от точки А по часовой стрелке называется отрицательным направлением. ![]()
Числовая окружность на координатной плоскости.
Центр радиуса числовой окружности соответствует началу координат (числу 0). Горизонтальный диаметр соответствует оси x, вертикальный - оси y. Начальная точка А числовой окружности находится на оси x и имеет координаты (1; 0).
Значения x и y в четвертях числовой окружности:
![]()
Значение любой точки числовой окружности:
Любая точка числовой окружности с координатами (x; y) не может быть меньше -1, но не может быть больше 1:
Основные величины числовой окружности:
![]()
Имена и местонахождение основных точек числовой окружности:
![]()
Как запомнить имена числовой окружности.
Есть несколько простых закономерностей, которые помогут вам легко запомнить основные имена числовой окружности. Перед тем как начать, напомним: отсчет ведется в положительном направлении, то есть от точки А (2П) против часовой стрелки. 1) Начнем с крайних точек на осях координат. Начальная точка - это 2П (крайняя правая точка на оси х, равная 1). Как вы знаете, 2П - это длина окружности. Значит, половина окружности - это 1П или П. Ось х делит окружность как раз пополам. Соответственно, крайняя левая точка на оси х, равная -1, называется П. Крайняя верхняя точка на оси у, равная 1, делит верхнюю полуокружность пополам. Значит, если полуокружность - это П, то половина полуокружности - это П/2. Одновременно П/2 - это и четверть окружности. Отсчитаем три таких четверти от первой до третьей - и мы придем в крайнюю нижнюю точку на оси у, равной -1. Но если она включает три четверти - значит имя ей 3П/2. ![]() 2) Теперь перейдем к остальным точкам. Обратите внимание: все противоположные точки имеют одинаковый числитель - причем это противоположные точки и относительно оси у,
и относительно центра осей, и относительно оси х. Это нам и поможет знать их значения точек без зубрежки.
Надо запомнить лишь значение точек первой четверти: П/6, П/4 и П/3. И тогда мы "увидим" некоторые закономерности:
![]() Определение. Если точка М числовой окружности соответствует числу t, то абсциссу точки М называют
косинусом числа t и обозначают соs t, а ординату точки М называют синусом числа t и обозначают sin t. Определение. Отношение синуса числа t к косинусу того же числа называют тангенсом числа t.
Отношение косинуса числа t к синусу того же числа называют котангенсом числа t. ![]()
Таблица знаков синуса, косинуса, тангенса и котангенса по четвертям числовой окружности:
Равенство, связывающее sin t и соs t: sin2t + cos2t = 1
Свойство 1. cos (-t) = cos(t); sin (-t) = - sin (t); tg (-t) = - tg (t); ctg (-t) = - ctg (t) Таблица основных значений синуса, косинуса, тангенса и котангенса ![]() Номера для работы на занятии
№50; №51; №55; №60; №95; №100; №61 Домашнее задание: конспект |