Алгебра

Алгебра	Методическая копилка
Корни и степени
Занятие 1 .	Понятие корня n-ой степени из действительного числа.
Занятие 2	Свойства корня n-ой степени.
Занятие 3	Свойства корня n-ой степени.
Логарифмы
Занятие 4	Понятие логарифма.Свойства логарифмов.
Занятие 5	Свойства логарифмов.
Занятие 6	Свойства логарифмов.
Занятие 7	Переход к новому основанию логарифма.
Занятие 8	Преобразование логарифмических выражений.
Основные понятия Основные тригонометрические тождества
Занятие 9	Числовая окружность. Синус и косинус. Тангенс и котангенс.
Занятие 10	Тригонометрические функции числового и углового аргументов. Формулы приведения.
Преобразования простейших тригонометрических выражений
Занятие 11	Синус, косинус и тангенс суммы и разности аргументов.
Занятие 12	Формулы двойного аргумента.
Занятие 13	Преобразование сумм тригонометрических функций в произведение.
Занятие 14	Преобразование тригонометрических выражений.
Тригонометрические уравнения и неравенства
Занятие 15	Решение тригонометрических уравнений.
Занятие 16	Решение тригонометрических уравнений.
Занятие 17	Решение тригонометрических неравенств.
Занятие 18	Решение тригонометрических неравенств.
Свойства функций
Занятие 19	Свойства функций.
Степенные функции
Занятие 20	Степенные функции их свойства и графики.
Занятие 21	Степенные функции их свойства и графики.
Показательная функция
Занятие 22	Показательная функция её свойства и график.
Занятие 23	Показательная функция её свойства и график.
Логарифмическая функция
Занятие 24	Логарифмическая функция её свойства и график.
Занятие 25	Логарифмическая функция её свойства и график.
Тригонометрические функции
Занятие 26	Функции y=sinx, y=cosx, их свойства и графики.
Занятие 27	Функции y=tgx, y=ctgx, их свойства и графики.
Занятие 28	Преобразование графиков тригонометрических функций.
Уравнения и системы уравнений
Занятие 29	Показательные уравнения.
Занятие 30	Логарифмические уравнения.
Занятие 31	Уравнения и системы уравнений.
Неравенства
Занятие 32	Неравенства.
Занятие 33	Показательные неравенства.
Занятие 34	Логарифмические неравенства.
Предел числовой последовательности
Занятие 35	Числовые последовательности. Предел числовой последовательности.
Производная функций
Занятие 36	Вычисление производных.
Занятие 37	Производная сложной функции.
Занятие 38	Уравнение касательной к графику.
Занятие 39	Применение производной для исследования функций на монотонность и экстремумы.
Занятие 40	Применение производной для отыскания наибольших и наименьших значений.
Первообразная и интеграл
Занятие 41	Первообразная и неопределённый интеграл.
Занятие 42	Определённый интеграл.
Занятие 43	Определённый интеграл.
Занятие 44	Применение определённого интеграла к вычислению площадей плоских фигур.
Занятие 45	Применение определённого интеграла к вычислению площадей плоских фигур.
Элементы комбинаторики
Занятие 46	Случайные события. Вероятность событий.
Занятие 47	Математическая статистика.

Занятие 9. Числовая окружность. Синус и косинус. Тангенс и котангенс.

Единичной окружностью называют окружность радиуса 1.

Числовая окружность - это единичная окружность, точки которой соответствуют определенным действительным числам.

Общий вид числовой окружности.

1) Ее радиус принимается за единицу измерения.
2) Горизонтальный и вертикальный диаметры делят числовую окружность на четыре четверти . Их соответственно называют первой, второй, третьей и четвертой четвертью.
3) Горизонтальный диаметр обозначают AC, причем А - это крайняя правая точка. Вертикальный диаметр обозначают BD, причем B - это крайняя верхняя точка.

Соответственно:
первая четверть - это дуга AB
вторая четверть - дуга BC
третья четверть - дуга CD
четвертая четверть - дуга DA
4) Начальная точка числовой окружности - точка А.

Отсчет по числовой окружности может вестись как по часовой стрелке, так и против часовой стрелки. Отсчет от точки А против часовой стрелки называется положительным направлением. Отсчет от точки А по часовой стрелке называется отрицательным направлением.

Числовая окружность на координатной плоскости.

Центр радиуса числовой окружности соответствует началу координат (числу 0). Горизонтальный диаметр соответствует оси x, вертикальный - оси y. Начальная точка А числовой окружности находится на оси x и имеет координаты (1; 0).

Значения x и y в четвертях числовой окружности:

Значение любой точки числовой окружности:

Любая точка числовой окружности с координатами (x; y) не может быть меньше -1, но не может быть больше 1: ;

Основные величины числовой окружности:

Имена и местонахождение основных точек числовой окружности:

Как запомнить имена числовой окружности.

Есть несколько простых закономерностей, которые помогут вам легко запомнить основные имена числовой окружности. Перед тем как начать, напомним: отсчет ведется в положительном направлении, то есть от точки А (2П) против часовой стрелки.

1) Начнем с крайних точек на осях координат. Начальная точка - это 2П (крайняя правая точка на оси х, равная 1). Как вы знаете, 2П - это длина окружности. Значит, половина окружности - это 1П или П. Ось х делит окружность как раз пополам. Соответственно, крайняя левая точка на оси х, равная -1, называется П. Крайняя верхняя точка на оси у, равная 1, делит верхнюю полуокружность пополам. Значит, если полуокружность - это П, то половина полуокружности - это П/2. Одновременно П/2 - это и четверть окружности. Отсчитаем три таких четверти от первой до третьей - и мы придем в крайнюю нижнюю точку на оси у, равной -1. Но если она включает три четверти - значит имя ей 3П/2.

2) Теперь перейдем к остальным точкам. Обратите внимание: все противоположные точки имеют одинаковый числитель - причем это противоположные точки и относительно оси у, и относительно центра осей, и относительно оси х. Это нам и поможет знать их значения точек без зубрежки. Надо запомнить лишь значение точек первой четверти: П/6, П/4 и П/3. И тогда мы "увидим" некоторые закономерности:

Определение. Если точка М числовой окружности соответствует числу t, то абсциссу точки М называют косинусом числа t и обозначают соs t, а ординату точки М называют синусом числа t и обозначают sin t.
Если М(t) = М(х;у), то х = cost, у = sint.

Определение. Отношение синуса числа t к косинусу того же числа называют тангенсом числа t. Отношение косинуса числа t к синусу того же числа называют котангенсом числа t.

Таблица знаков синуса, косинуса, тангенса и котангенса по четвертям числовой окружности:

Четверть	Первая	Вторая	Третья	Четвёртая
cost	+	-	-	+
sint	+	+	-	-
tgt; ctgt	+	-	+	-

Равенство, связывающее sin t и соs t: sin²t + cos²t = 1

Свойство 1. cos (-t) = cos(t); sin (-t) = - sin (t); tg (-t) = - tg (t); ctg (-t) = - ctg (t)
Свойство 2. cos (t+2Пk) = cos (t); sin (t+2Пk) = sin (t); tg (t+2Пk) = tg (t); ctg (t+2Пk) = ctg (t)

Таблица основных значений синуса, косинуса, тангенса и котангенса

Номера для работы на занятии

№50; №51; №55; №60; №95; №100; №61

Домашнее задание: конспект